선형대수학 :: Diagonalization

Diagonalization

• n x n 행렬 A
• Λ : eigenvalues 대각행렬

 

$\begin{gather*}Λ = diag(\lambda_1, ..., \lambda_n)\end{gather*}$

 

• S : linearly independent eigenvectors (x는 열벡터)

 

$\begin{gather*}S=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix}\end{gather*}$

 

• Diagonalization

 

$\begin{gather*}S^{-1}AS=Λ\end{gather*}$

 

• 특징
  • n개의 lineary independent eigenvectors ↔ 대각화 가능
    ⇒ 대각화에는 S^-1 가 필요하기 때문.
  • 서로 다른 n개의 eigenvalues → n개의 independent eigenvectors
    ⇒ 대각화 가능

• 대각화 ≠ invertibility
  • A가 역행렬을 갖지만 대각화 불가능한 경우 존재
  • 대각화 가능하지만 A가 역행렬을 갖지 않는 경우 존재.
• Eigenvalue 중에 중복이 있으면 eigenvector는 그 중복된 개수를 넘을 수 없다.

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Computing A^k

 

$\begin{gather*}A=SΛS^{-1}\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}A^k=SΛ^kS^{-1}\end{gather*}$

 

• Λ^k 는 구하기 매우 쉬우므로 이렇게 계산하면 된다.

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Application 1 : Difference Equations (점화식)

피보나치 예시

 

$\begin{gather*}F_{k+2}=F_{k+1}+F_k, \ \ \ \ \ F_0=0,F_1=1\end{gather*}$

 

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u_k 행렬로 표현

 

$\begin{gather*}u_k=\begin{bmatrix} F_{k+1} \\ F_k \end{bmatrix}\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}u_{k+1}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}u_k\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}u_k=A^ku_0, \ \ \ \ \ \ \ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}u_0 = \frac{x_1-x_2}{\lambda_1-\lambda_2}, \ \ \ \ \ u_k=A^k\frac{x_1-x_2}{\lambda_1-\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}(\lambda_1^kx_1-\lambda_2^kx_2)\end{gather*}$

 

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일반화

 

$\begin{gather*}u_{k+1}=Au_k\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}u_k = A^ku_0\end{gather*}$

 

1. independent eigenvectors S = [x1 ,… xn]을 찾는다.
2. u0 = c1x1 + … + cnxn 를 하는 c들을 찾는다. (u0 = Sc) → (c = (S^-1)u0)
3. 따라서

$\begin{gather*}u_k =c_1\lambda_1^kx_1 + ... + c_n\lambda_n^kx_n\end{gather*}$

 

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Application 2 : Differential Equations (미분 방정식)

 

$\begin{gather*}u(t)=ce^{at}, \ \ \ \ \ \ \ \frac{du(t)}{dt}=au(t)\end{gather*}$

 

• n x n 행렬 A, 벡터 c에 대하여

 

$\begin{gather*}u(t)=ce^{At}, \ \ \ \ \ \ \ \frac{du(t)}{dt}=Au(t)\end{gather*}$

 

• 테일러 전개에 의하여

 

$\begin{gather*}e^{At}=I+At+\frac{1}{2}(At)^2+...\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}(e^{At})'=Ae^{At}=A + A^2t + \frac{1}{2}A^3t^2 +...\end{gather*}$

 

• A의 eigenvalue가 λ 이면, e^At의 eigenvalue는 e^λt

 

$\begin{gather*}(I+At+\frac{1}{2}(At)^2+...)x = (1+λt+\frac{1}{2}(λt)^2+...)x\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}e^{At}x=e^{λt}x \end{gather*}$

 

• 따라서

 

$\begin{gather*}u(t)=e^{At}u(0)\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}=(I+At+\frac{1}{2}(At)^2+...)u(0)\end{gather*}$

 

• 대각화에 의하여

 

$\begin{gather*}=(I+SΛS^{-1}t+\frac{1}{2}SΛ^2S^{-1}t^2+...)u(0)\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}=Se^{Λt}S^{-1}u(0)\end{gather*}$

 

• 다음을 이용하여 정리

 

$\begin{gather*}c=S^{-1}u(0),\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}e^{Λt}= diag(e^{\lambda t}), \ \ \ \ \ Se^{Λt}=e^{\lambda t}x\end{gather*}$

 

• 결론

 

$\begin{gather*}u(t)=c_1e^{λ_1t}x_1 +...+c_ne^{λ_nt}x_n\end{gather*}$