선형대수학 :: Cramer’s Rule

Cramer’s Rule

• 일루미네이션 없이 판별식을 사용해서 근 구하기

 

$\begin{gather*}Ax=b\end{gather*}$

 

• n x n invertible 행렬 A ⇒ |A| ≠ 0
• 행렬 B_i는 A의 i 열을 b로 교체한 것.

 

$\begin{gather*}x_1=\frac{|B_1|}{|A|}, \\ x_2=\frac{|B_2|}{|A|}, \\ ...\\ x_n=\frac{|B_n|}{|A|}\end{gather*}$

 

• 판별식을 구하기 쉽다면 근을 쉽게 구할 수 있다.

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Inverse via Cramer’s Rule

• Cramer’s Rule과 Cofactor 이용해서 역행렬 구하기

 

$\begin{gather*}A^{-1}= \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}= \frac{C^T}{|A|}\end{gather*}$

 

• 이때 C 는 cofactor matrix

 

$\begin{gather*}C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}\end{gather*}$

 

• C의 원소는 a에 대한 cofactor
  그런데 a_11 이 맨 앞에 곱해지는 것이 아니라 그냥 1이 곱해짐

 

$\begin{gather*}C_{11} = 1 \cdot (-1)^{1+1}|M_{11}| \end{gather*}$

 

• 일반화

 

$\begin{gather*}A^{-1}= \frac{C^T}{|A|}\end{gather*}$

 

• C의 원소가 모두 0이 아니라고 해서 A가 invertible인 것은 아니다.
  C의 원소가 모두 0이면 A가 singular인 것은 맞다. (A^-1 이 0 이면 안되므로)