선형대수학 :: Positive Definite Matrices

Positive Definite

• n x n A^T = A : symmetric

 

$\begin{gather*}A \succ0\end{gather*}$

 

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Positive Definite (양의 정부호) 동치 조건들

1. 기본 정의 (를 만족하면 PD) x ≠ 0
   
   

   $\begin{gather*}x^TAx >0, \ \ \ \ \forall x \not=0\end{gather*}$

2. n pivots > 0
3. n eigenvalues > 0
   그리고 >0의 개수가 eigenvalue와 pivot이 같다.
   
   

   $\begin{gather*}\lambda_i>0, \ \ \ \ \forall i\end{gather*}$

   
   
4. all leading principal minors > 0
   (upper left의 determinant들)
   
   

   $\begin{gather*}\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\end{gather*}$

   
   

   $\begin{gather*}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}>0, \ \ \ \ \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}>0, \ \ \ \ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} > 0\end{gather*}$

   
   
   
5. full column rank를 가지는 어떤 R에 대하여
   ⇒ R^TR 는 항상 symmetric, full column rank (n pivot), PD
   
   

   $\begin{gather*}A=LDU \\ =LDL^T \\ =LD^{\frac{1}{2}}D^{\frac{1}{2}}L^T \\ = R^TR \end{gather*}$

   
   

   $\begin{gather*}A=R^TR, \ \ \ \ \ \ R=D^{\frac{1}{2}}L^T \end{gather*}$

 

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Postive Semi definite 동치 조건들

1. 기본 정의
   
   

   $\begin{gather*}x^TAx \ge 0, \ \ \ \ \forall x\end{gather*}$

2. eigenvalues ≥ 0
   
   

   $\begin{gather*}\lambda_i\ge 0, \ \ \ \ \forall i\end{gather*}$

3. for all principal minors ≥ 0
   같은 행, 열 로 이루어진 모든 집합들
   
   

   $\begin{gather*}\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \\ \end{bmatrix}\end{gather*}$

   
   * 1행 1열, 1행 1열~2행 2열, 2행 2열
   
   

   $\begin{gather*}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}\ge0, \ \ \ \ \begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix}\ge0, \ \ \ \ \begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\ge0, \ \ \ \ \end{gather*}$