선형대수학 :: Subspaces

Vector Space

$\begin{gather*}\overline{V}\end{gather*}$

 

1. u + v = v + u
2. (u + v) + w = u + (v + w)
3. v + 0 = v
4. -v
5. c(u + v) = cu + cv
6. 1v = v
7. (c1c2)v = c1(c2v)
8. (c1 + c2)v = c1v + c2v

• subspace의 차원은 basis의 개수

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Subspace S

$\begin{gather*}cu + dv \in S\end{gather*}$

• Closed under linear combination

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Column Space

$\begin{gather*}C(A) = \{Ax, \ \forall x \in R^n \}\end{gather*}$

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Row Space

$\begin{gather*}R(A) = \{xA, \ \forall x \in R^m \} \\ = \{A^Tx, \ \forall x \in R^n \} \\ = C(A^T) \end{gather*}$

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Solvability of Ax=b

Ax=b Solvable ↔ b in c(A)

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Null Space

$\begin{gather*}N(A) = \{Ax = 0, \ x \in R^n \} \end{gather*}$

 

• pivot column : 피봇이 있는 열
• free column : 피봇이 없는 열
• pivot variable : pivot-c에 대응되는 x
• free variable : free-c 에 대응되는 x

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구하는 방법 1

1. 가우스 일루미네이션 진행
2. pivot-v 를 free-v로 표현하기.
3. N(A) 결정

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구하는 방법 2

1. 가우스 일루미네이션 진행
2. free-v는 어떤 값이 들어가더라도 상관없으므로 임의의 값 넣기 ex) (1, 0, 0)
3. Special solution 과 N(A) 결정

Proving that $\operatorname{Null}(A) = \operatorname{Null}(A^TA)$

 

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Complete Solution to Ax=b

$\begin{gather*}x_p = \{ free \ variable= 0 \} \\ x_n = N(A) \\ x = x_p + x_n \end{gather*}$

 

1. 가우스 일루미네이션을 통해서 pivot-v 와 free-v를 찾는다.
2. x_p를 먼저 구한다. free-v에 0을 대입하면 구할 수 있다. ⇒ 구할 수 없다면 해가 없다.
3. N(A)를 구한다.
4. x 를 결정한다.