Vector Space
$\begin{gather*}\overline{V}\end{gather*}$
- u + v = v + u
- (u + v) + w = u + (v + w)
- v + 0 = v
- -v
- c(u + v) = cu + cv
- 1v = v
- (c1c2)v = c1(c2v)
- (c1 + c2)v = c1v + c2v
- subspace의 차원은 basis의 개수
Subspace S
$\begin{gather*}cu + dv \in S\end{gather*}$
- Closed under linear combination
Column Space
$\begin{gather*}C(A) = \{Ax, \ \forall x \in R^n \}\end{gather*}$
Row Space
$\begin{gather*}R(A) = \{xA, \ \forall x \in R^m \} \\ = \{A^Tx, \ \forall x \in R^n \} \\ = C(A^T) \end{gather*}$
Solvability of Ax=b
Ax=b Solvable ↔ b in c(A)
Null Space
$\begin{gather*}N(A) = \{Ax = 0, \ x \in R^n \} \end{gather*}$
- pivot column : 피봇이 있는 열
- free column : 피봇이 없는 열
- pivot variable : pivot-c에 대응되는 x
- free variable : free-c 에 대응되는 x
구하는 방법 1
- 가우스 일루미네이션 진행
- pivot-v 를 free-v로 표현하기.
- N(A) 결정
구하는 방법 2
- 가우스 일루미네이션 진행
- free-v는 어떤 값이 들어가더라도 상관없으므로 임의의 값 넣기 ex) (1, 0, 0)
- Special solution 과 N(A) 결정
Proving that $\operatorname{Null}(A) = \operatorname{Null}(A^TA)$
Let $A$ be an $m×n$ matrix. Prove that $\operatorname{Null}(A) = \operatorname{Null}(A^TA)$. In other words, prove that a vector $x ∈ \mathbb{R}^n$ satisfies $Ax = 0$ if and only if $A^TAx = 0$. ...
math.stackexchange.com
Complete Solution to Ax=b
$\begin{gather*}x_p = \{ free \ variable= 0 \} \\ x_n = N(A) \\ x = x_p + x_n \end{gather*}$
- 가우스 일루미네이션을 통해서 pivot-v 와 free-v를 찾는다.
- x_p를 먼저 구한다. free-v에 0을 대입하면 구할 수 있다. ⇒ 구할 수 없다면 해가 없다.
- N(A)를 구한다.
- x 를 결정한다.
'CSE 학부 > 선형대수학' 카테고리의 다른 글
선형대수학 :: Basis | Dimension of Subspace (0) | 2024.02.18 |
---|---|
선형대수학 :: Rank | Linear Independence (1) | 2024.02.18 |
선형대수학 :: Inverse Matrix (0) | 2024.02.18 |
선형대수학 :: Gaussian Elimination | LU Factorization (1) | 2024.02.18 |
선형대수학 :: Matrix Multiplication (0) | 2024.02.18 |
틀린 부분은 언제든지 말씀해주세요!!! 감사합니다!