선형대수학 :: Rank | Linear Independence

Rank

r(A) = pivot 개수

 

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Full Column Rank

• n pivot columns
• no free variables
• N(A) = {0}
• Ax = b has 0 or 1 solution

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Full Row Rank

• Ax = b always solvable
• C(A) = R^m
• n - m special solutions
  스페셜 솔루션은 free variable 만큼만 생성된다.

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Rank and Number of Solutions to Ax=b

r(A) = m & r(A) = n	1 sol
r(A) = m & r(A) < n	inf sol
r(A) < m & r(A) = n	0, 1 sol
r(A) < m & r(A) < n	0, inf sol

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Linear Independence

$\begin{gather*}x_1v_1 + x_2v_2 + ... + x_nv_n = 0 \end{gather*}$

 

• x = 0 → linearly independence
• x ≠ 0 → linearly dependent
  v는 다른 v 들의 linear combination으로 표현 가능하다.

$\begin{gather*}v_1 = -\frac{1}{x_1}(x_2v_2 + ... + x_nv_n) \end{gather*}$

 

• pivot column = independence
• free column = dependent

 

• Rank
  1. pivot 의 개수
  2. 독립 열 벡터(= pivot column)의 최대 수

$\begin{gather*}r(A) = r(A^T)\end{gather*}$