선형대수학 :: Gaussian Elimination | LU Factorization

Linear Equation

• Row operations

1. subtracting
2. row exchange
3. row scaling

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Augmented matrix form

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Row echelon form

1. 가우스 일루미네이션을 한다.
2. 사다리꼴이 나올 때까지 계속 끝까지 한다.

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LU Factorization

• Elimination Matrix
  • 행 교환 : Permutaion
  • 행 스케일링 : Digonal
• E → E^(-1) : 원상 복구하기(2를 뺐으면 다시 2를 더하는 식으로)

$\begin{gather*}E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1\end{bmatrix} \\E^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}EA = U \\ A = E^{-1}U \\ A = LU\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}D = \{U에서 \ 대각선 \ 추출\} \\ U = DU' \\ A = LDU'\end{gather*}$

 

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Symmetric

$\begin{gather*}A=A^T, \\ A = LDL^T\end{gather*}$

 

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LU 를 알 때 Ax = b 풀이

$\begin{gather*}Ax = b \\ ---------\\ A = LU \\ LUx = b \\ ---------\\ Ly = b \\ Ux = y\end{gather*}$