선형대수학 :: Inverse Matrix

Inverse Matrix

• 역행렬이 존재한다면 invertible (nonsingular)
• 역행렬이 존재하지 않는다면 singular
• n x n

1. 역행렬이 존재 ↔ n 개의 pivot
2. 역행렬은 단 하나만 존재
3. 역행렬이 존재한다면 Ax=b는 오직 하나의 솔루션.

• A^{-1} 이 주어졌을 때 Ax = b 풀이

$\begin{gather*}X = A^{-1}b\end{gather*}$

   

  4. Ax=0 일 때 x≠0 ↔ A는 역행렬 없음 (singular)

  5. 판별식

 

$\begin{gather*}A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ ad - bc \not = 0, A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\end{gather*}$

 

   6. D의 역행렬이 존재 ↔ D의 entries는 모두 0 이 아니다.

 

$\begin{gather*}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 4^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{-1} \end{bmatrix}\end{gather*}$

   

   7. triangular A의 역행렬이 존재 ↔ 대각선 엔트리는 모두 0이 아니다.

---

Gauss-Jordan Elimination

역행렬을 구하는 일반적인 방법

 

$\begin{gather*}[A|I] \\ ... \\ \ [I|A^{-1}]\end{gather*}$