선형대수학 :: Projection

Projection onto a Vector

• 정사영
  벡터 b를 S로 정사영 한 것은 S의 벡터들 중 b와 거리가 가장 짧은 벡터 v

 

• p = 벡터 b를 벡터 a로 projected 한 벡터
  • b랑 a가 서로 수직이면 p = 0

$\begin{gather*}p = Pb = \frac{aa^T}{a^Ta}b\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}= \frac{a^Tb}{a^Ta}a\end{gather*}$

 

• projcetion matrix P

$\begin{gather*}P = \frac{aa^T}{a^Ta}\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}r(P) = 1\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}P^k = P\end{gather*}$

 

• b와 정사영한 p의 차이.
  I-P 도 projcetion matrix 이기 때문의 위의 성질들을 만족한다.

$\begin{gather*}(I-P)b = b-p=e\end{gather*}$

---

Projection onto a Subspace

• 벡터 b를 C(A)에 정사영한 것.
  A가 full rank 라면 A^TA 는 invertible 하므로 역행렬이 존재.

$\begin{gather*}p = Pb = A\hat x = A(A^TA)^{-1}A^Tb\end{gather*}$

 

• e 는 C(A)와 수직이므로 N(A^T)의 원소이다.

 

$\begin{gather*}e = b -A\hat x \in N(A^T)\end{gather*}$

 

• 만약 A가 full rank가 아니라면
  dependent column 은 버려도 C(A)는 변하지 않으므로
  dependent column 은 버리고 정사영하기. ⇒ 그래야 역행렬을 구할 수 있음.

 

• C(A)에 정사영 한 것이기 때문에 정사영 p는 (A의 columns 중에 하나) * (스칼라 x) 꼴로 표현됨.