선형대수학 :: Orthogonality

Orthogonality : 직교

• 두 벡터의 내적이 0이면 직교
• 두 subspace 안의 모든 벡터가 직교할 때 두 subspace는 직교.
• R^n : dim(S1) + dim(S2) > n 이면 직교 불가능.

$\begin{gather*}C(A^T) ⊥N(A)\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}C(A)⊥N(A^T)\end{gather*}$

 

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Orthogonal Complement : 직교 여집합

• S 랑 직교하는 모든 벡터 집합

$\begin{gather*}N(A)=C(A^T)^⊥ \\ C(A^T) = N(A)^⊥\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}N(A^T) =C(A)^⊥ \\ C(A) = N(A^T)^⊥\end{gather*}$

 

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Fundamental Theorem of Linear Algebra

• R^n에서 N(A)와 C(A^T)는 서로 Orthogonal Complement
• R^m에서 N(A^T)와 C(A)는 서로 Orthogonal Complement

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n Independent Vectors in R^n

• R^n 속의 n개의 independent 벡터는 R^n을 span 한다.
  • R^n : independent → span R^n
  • 즉, basis
• R^n 속의 n개의 벡터가 R^n 을 span 하면 벡터는 independent이다.
  • R^n : span R^n → independent
  • 즉, basis
• n개의 columns 이 independent 이면 R^n을 span 한다. 즉, solution이 존재
• n개의 columns 이 R^n 을 span 하면 independent이다. 즉, unique solution이 존재.

 

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Orthogonality and Independence

• independent ≠> Orthogonal
• Orthogonal ⇒ independent

 

• Independent라고 해서 Orthogonal 인 것은 아니다.
• 그런데 Orthogonal 이면 무조건 Independent이다.

$\begin{gather*}v \cdot w = 0 \\ cv + dw = 0\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}c(v \cdot v) + d(v \cdot w) = 0 \\ c (v \cdot v) = 0 \\ c = 0\end{gather*}$

 

$\begin{gather*}c(v \cdot w) + d(w\cdot w) = 0 \\ d(w\cdot w) = 0 \\ d = 0\end{gather*}$

 

Proving that orthogonal vectors are linearly independent

 

1. S와 T 가 R^n의 subspace이고
2. v1, … , vr 이 S의 basis
3. vr+1, … , vn 이 T의 basis
4. S ⊥ T 라면 ⇒ S의 벡터랑 T의 벡터는 서로 independent
5. ⇒ v1, … , vn 은 R^n의 basis

• N(A)의 basis + C(A^T)의 basis는 R^n의 basis

$\begin{gather*}x \in R^n, \ \ \ x_r \in C(A^T), \ \ \ x_n \in N(A) \\x = x_r + x_n \end{gather*}$