선형대수학 :: 기말점검

1. |tA|=t^n|A|
2. 판별식 구할 땐 먼저 최대한 일루미네이션해서 0이 많은 행(열) 만든 다음에 cofactor 하기
   ⇒ triangular 인가?
   ⇒ 행에서 겹치는 곱하기는 밖으로 빼버리기
   ⇒ 단, eigenvalue는 무조건 cofactor 부터 (일루미네이션은 값을 바꾸기 때문에)
3. A^-1의 eigenvalue는 그냥 역수. (대각화하고, 대각행렬^-1은 단지 역수 취한 것)
   A^-1의 eigenvector는 A와 동일하다.
4. A^TA는 항상 symmetric이다.
   https://math.stackexchange.com/questions/465799/is-matrix-ata-always-symmetric
5. full column rank를 가지는 어떤 R에 대하여
   ↔ R^TR는 항상 symmetric, full column rank (n pivot), PD (||Rx||^2 > 0 이므로)
   만약 full column rank R이 아니라 그냥 R이면 ⇒ R^TR 은 symmetric, PSD
6. A| ≠ 0 ↔ λ ≠ 0 (eigenvalue의 곱은 판별식과 같다.)
7. A^T = A : symmetric
8. A^T = A^-1 : orthonormal
9. 항상 N(A^TA)=N(A) 이므로
   ⇒ rank(A^TA) = rank(A) 즉, 둘의 피봇의 개수는 같다.
10. Rank(AA^T)=1
11. A^TA는 ||Ax||^2 ≥ 0을 항상 의심해 볼 것.
12. A^TA는 무조건 PSD
13. 판별식에서 열 교환도 부호가 반대가 된다. (|A| = |A^T|)
    일루미네이션같은 row opetation과 마찬가지로
    column operation 또한 판별식을 바꾸지 않는다.
14. λ나오면 그냥 Ax = λx로부터 출발하자. ( ex) 증명해야 할 때)
15. B = A+cI 의 eigenvalue는 그냥 eigenvalue + c
    또한 eigenvector는 A와 B가 동일하다.
    
    

    $\begin{gather*}λ(A)=\{λ_1, ..., λ_n\} \\ λ(A+cI)=\{λ_1+c_1, ..., λ_n+c_n\}\end{gather*}$

16. A^-1는 항상 |A| ≠ 0 (λ ≠ 0) 인지 의심할 것.
17. AA^T는 symmetric, 항상 psd.
18. A 랑 A^T는 같은 eigenvalue를 가진다.
19. |C| = |A|^(n-1)