정수론 #10-1 :: 펠 방정식

사각-삼각수

삼각수

 

$\begin{gather*} \frac{n(n+1)}{2} \end{gather*}$

 

사각수 (= 제곱수)

 

$\begin{gather*} n^2 \end{gather*}$

 

사각수이면서 삼각수인 사각-삼각수는 무한할까?

 

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Pell’s equation

$\begin{gather*} n^2=\frac{m(m+1)}{2} \end{gather*}$

 

를 만족하는 수를 찾자.

x = 2m+1, y = 2n을 사용.

 

$\begin{gather*} x=2m+1 \\ y=2n \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} x^2-2y^2=1 \end{gather*}$

 

(x, y)	(3, 2)	(17, 12)	(99, 70)	(577, 408)
(m, n)	(1, 1)	(8, 6)	(49, 35)	(288, 204)
n^2 = m(m+1)/2	1	36	1225	41616

 

최초의 해 x = 3, y = 2를 대입하여 나머지 해를 구할 수 있다. (infinite ascent)

 

$\begin{gather*} 1=(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)\\ 1^k=(3+2\sqrt2)^k(3-2\sqrt2)^k\\=(x_k+y_k\sqrt2)(x_k-y_k\sqrt2) \end{gather*}$

 

펠 방정식의 해

 

$\begin{gather*} (3+2\sqrt2)^k=x_k+y_k\sqrt2, \ \ \ \ k \in \mathbb{N} \end{gather*}$

 

보조정리

 

$\begin{gather*} (3+2\sqrt2)^k=x_k+y_k\sqrt2 \Rightarrow (3-2\sqrt2)^k=x_k-y_k\sqrt2 \end{gather*}$

 

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Pell’s equation의 해

양의 정수해

 

$\begin{gather*} S^+ = \{(x_k, y_k) : x_k+y_k\sqrt2 = (3+2\sqrt2)^k, \ \ k=1,2,3,...\} \end{gather*}$

 

증명

임의의 해로부터 Descent를 사용하여 (x1, y1) = (3, 2)를 만들자.

 

y > 2인 해 (x, y)에 대하여 (s, t)를 다음과 같이 정의한다.

 

$\begin{gather*} s + t\sqrt2 =(x_k+y_k\sqrt2)(3-2\sqrt2) = (3x - 4y) + (-2x + 3y)\sqrt2 \end{gather*}$

 

임의의 해 x, y로 부터 한 계단 내려간 s, t를 구한다.

 

$\begin{gather*} s^2-2t^2 = (s +t\sqrt2)(s-t\sqrt2) \\ = (x+y\sqrt2)(3-2\sqrt2) \cdot(x-y\sqrt2)(3+2\sqrt2) \\ = (x^2-2y^2) \cdot (3^2-2\cdot 2^2) = 1 \end{gather*}$

 

그 s, t역시 펠 방정식의 해이다. 따라서 무한히 내려가서 최초의 해를 구할 수 있다.

앞에서 얻은 s, t를 통해 다음 사실들을 확인할 수 있다.

 

s > 0 : x^2 = 1 + 2y^2 > 2y^2 이므로 x > √2y. 따라서

 

$\begin{gather*} s=3x-4y >3\sqrt2 y -4y > 0 \end{gather*}$

 

t > 0 :  y > 2이므로 4x^2= 4+8y^2 < 9y^2이고, 2x < 3y. 따라서

 

$\begin{gather*} t = -2x + 3y >0 \end{gather*}$

 

s < x : 

 

$\begin{gather*} x = 3s+4t > 3s > s \end{gather*}$

 

(s는 x보다 작기 때문에 하강한 해가 맞다.)

 

즉, y > 2인 펠 방정식의 해(x, y)로 부터 새로운 자연수 해(s, t)를 얻었고, s < x이다. 이 과정을 반복하면 다음 식에 의해 해(3, 2)에 도달할 수 있다.

 

$\begin{gather*} 3+2\sqrt2 = (x+y\sqrt2)(3-2\sqrt2)^k \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \therefore (x+y\sqrt2) = (3+2\sqrt2)^{k+1} \end{gather*}$