정수론 #9 :: 페르마의 정리

$\begin{gather*} x^4+y^4=z^4 \end{gather*}$

 

서로소인 양의 정수해는 없다.

⇒ infinite descent (무한 강하법)을 사용하여 증명.

 

Theorem

$\begin{gather*} x^4+y^4=z^2 \end{gather*}$

 

서로소인 양의 정수해는 없다.

⇒ z^4과 상호 호환됨.

 

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Lemma - Primitve Pythagorean Triples

$\begin{gather*} a^2+b^2=c^2 \\ a=st, \ \ \ \ b=\frac{s^2-t^2}{2}, \ \ \ \ c=\frac{s^2+t^2}{2}, \ \ \ \ (s,t : odd) \end{gather*}$

 

증명

본래에 사용한 것은 다음과 같다.

 

$\begin{gather*} (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \Rightarrow s=p+q, \ \ \ t=p-q \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \Rightarrow (st, \frac{s^2-t^2}{2}, \frac{s^2+t^2}{2}) \end{gather*}$

 

이때 s = t + 2q ≡ t mod 2 이므로 만약 s 혹은 t가 짝수면

⇒ s, t는 모두 짝수가 되고,

⇒ a, b, c가 모두 짝수가 되는데 원시 피타고라스 삼원쌍(Primitve Pythagorean Triples)은 서로소여야 하므로 모순이다.

따라서 s, t는 모두 홀수이다.

 

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Proof of theorem

$\begin{gather*} x^4+y^4=z^2 \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} a=x^2, \ \ \ \ b=y^2 \\ \Rightarrow a^2+b^2=z^2 \end{gather*}$

 

Lemma를 적용하면 (이때 s, t는 홀수)

 

$\begin{gather*} x^2=a=st \\ y^2=b=\frac{s^2-t^2}{2}\\ z=c=\frac{s^2+t^2}{2} \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} st=x^2:odd\Rightarrow x:odd \end{gather*}$

 

s와 t모두 홀수이므로 st는 홀수, 홀수의 루트도 홀수 ⇒ 따라서 x는 홀수.

 

$\begin{gather*} x=2k+1 \\ \Rightarrow x^2=4k^2+4k+1 \equiv 1 \mod 4 \\ \Rightarrow st \equiv 1 \mod 4 \end{gather*}$

 

(가) : 따라서 다음의 두 경우가 생긴다.

 

$\begin{gather*} \ \ \ \ \ \ \ \ s≡t≡1 \mod 4 \\ or \ \ \ \ s≡t≡3 \mod 4 \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} 2y^2=s^2-t^2=(s-t)(s+t) \end{gather*}$

 

이때 gcd(s, t) = 1 이므로 gcd(s-t, s+t)=2

또한 s, t가 홀수이므로 홀수 - 홀수는 무조건 2의 배수이다. 즉, gcd가 1이 되는 경우는 없다.

 

$\begin{gather*} s-t+s+t=2s \\ s-t-(s+t)=-2t \\ \Rightarrow \gcd(s-t, s+t)=2 \end{gather*}$

 

위의 (가)에 의하여 s-t ≡ 0 mod 4

즉, 4|(s-t) 이므로

 

$\begin{gather*} s-t + s+t=4k+ N=2s \\ \Rightarrow s+t≡2 \mod 4 \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} s+t=2p, \ \ \ \ s-t=4q \\ \Rightarrow (s+t)(s-t)=8pq=2y^2\\ \Rightarrow 4pq=y^2 \end{gather*}$

 

이때 3^2 * 7^2을 p는 3^2을 통째로 가져가고, q는 7^2을 통째로 가져가는 식으로 해야 한다. 섞어서 가져가면 서로소가 아니게 되기 때문.

⇒ p와 q는 모두 제곱수

 

$\begin{gather*} s+t=2u^2, \ \ \ \ s-t=4v^2, \ \ \ \ \gcd(u,2v)=1 \end{gather*}$

 

지금까지 얻은 내용들을 종합하면

 

$\begin{gather*} x^2=a=st, \ \ \ \ y^2=b=\frac{s^2-t^2}{2}, \ \ \ \ z=c=\frac{s^2+t^2}{2} \\ s=u^2+2v^2, \ \ \ \ t=u^2-2v^2 \\ \Rightarrow x^2=st=u^4-4v^4\\ \Rightarrow x^2+(2v^2)^2=u^4 \end{gather*}$

 

따라서 새로운 피라고라스 삼원쌍을 얻을 수 있다.

 

$\begin{gather*} A=x, \ \ \ \ B=2v^2, \ \ \ \ C=u^2 \end{gather*}$

 

Lemma를 다시 적용한다. (S와 T는 서로소인 홀수)

 

$\begin{gather*} A=x=ST, \ \ \ \ B=2v^2=\frac{S^2-T^2}{2}, \ \ \ \ C=u^2=\frac{S^2+T^2}{2} \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \Rightarrow 4v^2=S^2-T^2=(S+T)(S-T), \ \ \ \ \gcd(S+T, S-T)=2 \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \Rightarrow S+T=2X^2, \ \ \ \ S-T=4Y^2, \ \ \ \ for \ \ some \ \ 양의 \ 정수 \ \ X, Y \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} u^2=\frac{S^2+T^2}{2}=X^4+Y^4 \end{gather*}$

 

따라서 새로운 근 (X, Y, u)를 얻는다.

여기서 u < z임을 보이면 Lemma를 계속 적용하여 더 작은 근이 존재하게 되는데

양의 정수는 바닥이 있기때문에 모순이다. (1보다 더 작은 양의 정수는 없기 때문)

 

$\begin{gather*} z=\frac{s^2+t^2}{2}=u^4+4v^4 >u^4 \ge u \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \therefore u < z \\ \end{gather*}$

 

즉, 모순이므로 양의 정수해는 없다.

 

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Another Thorem

$\begin{gather*} x^4-y^4=z^2 \end{gather*}$

 

얘도 마찬가지로 양의 정수해는 없다.

 

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Corollary (따름정리)

피타고리안 삼각형의 넓이는 제곱수가 아니다.

 

증명

 

$\begin{gather*} x^2+y^2=z^2, \ \ \ \ \frac{1}{2}xy=u^2 \end{gather*}$

 

이라고 가정하면

 

$\begin{gather*} \Rightarrow (x+y)^2=z^2+4u^2 \\ (x-y)^2=z^2-4u^2 \end{gather*}$

 

$\begin{gather*} \Rightarrow (x+y)^2(x-y)^2 \\ =(x^2-y^2)^2=z^4-16u^4 \\ =z^4-(2u)^4 \end{gather*}$

 

위와 같이 새로운 근이 생기므로 Theorem에서 증명했던 것처럼 모순이다.