정수론 #1 :: 피타고라스 삼원쌍

Pair : 순서쌍 (a, b)
Triple : 삼원쌍 (a, b, c)

 

수체계

$\begin{gather*}\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \end{gather*}$

 

자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수

 

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피타고라스 법칙

 

$\begin{gather*}a^2+b^2 = c^2 \ \ \ \ \ a,b,c\in \mathbb{Z} \end{gather*}$

 

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Lemma 1

$\begin{gather*}\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2=1 \} \\ = \{(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \ | \ t \in \mathbb{Q} \} \cup \{(-1, 0)\} \end{gather*}$

 

설명

$\begin{gather*}\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2=1 \} \end{gather*}$

 

이것은 단위원 위의 실수 점의 집합을 의미한다.

 

$\begin{gather*}a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2=1 \end{gather*}$

 

피타고라스 법칙을 변형하면 단위원을 만들 수 있다.

 

$\begin{gather*}(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2=1 \Rightarrow a^2+b^2=c^2 \end{gather*}$

 

단위원 위의 유리수 점은 피타고라스 법칙으로 표현할 수 있다.

 

⇒ 피타고라스 삼원쌍은 단위원 위의 유리수 점 집합과 관련이 있다.

 

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$\begin{gather*}\{(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \ | \ t \in \mathbb{Q} \} \cup \{(-1, 0)\} \end{gather*}$

$\begin{gather*}(\frac{1-t^2}{1+t^2})^2+(\frac{2t}{1+t^2})^2=1 \end{gather*}$

 

이것은 단위원의 매개변수 표현이다.

 

• 매개변수 표현법 : 같은 점(1, 0 or -1, 0)을 지나는 직선의 방정식(기울기 t)이랑 연립.

 

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유도과정

단위원 위의 (-1, 0)을 끝점으로 하는 각도 θ만큼의 삼각형으로 부터 단위원 위의 (x, y)점을 유도.

$\begin{gather*}\tan θ = \frac{y-0}{x-(-1)}=\frac{y}{x+1}=t \end{gather*}$

$\begin{gather*}x=\cos 2θ =2\cos^2θ-1=\frac{2}{1+\tan^2 θ}-1=\frac{1-\tan^2 θ}{1+\tan^2 θ}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{gather*}$

$\begin{gather*}y=\sin2θ = \frac{2t}{1+t^2} \end{gather*}$

 

이때 (-1, 0)은 집합에 포함되지 않으므로

 

$\begin{gather*}\cup \{(-1, 0)\} \end{gather*}$

 

따로 합집합으로 포함시킨다.

 

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증명

Injective

$\begin{gather*}t\in \mathbb{Q} \Rightarrow (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in \mathbb{Q}^2 \end{gather*}$

 

이것은 자명하다.

 

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Surjective

 

$\begin{gather*}(x,y)\in \mathbb{Q}^2 \Rightarrow x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \ \ y =\frac{2t}{1+t^2} \end{gather*}$

 

x, y가 유리수라면 t도 유리수인가? 이것은 증명이 필요.

 

$\begin{gather*}\frac{y}{1+x}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}=t \end{gather*}$

 

x, y가 모두 유리수이므로 위의 식의 결과인 t역시 유리수이다.

t는 기울기이다. 즉, x, y 유리수 점으로 t라는 유리수 기울기를 만들 수 있다.

분모가 0이 되면 안되므로 x ≠ -1이며, 따라서 (-1, 0)은 따로 합집합으로 포함해야한다.

 

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Lemma 2

$\begin{gather*}\gcd(m, n)=1 \\ \Rightarrow \gcd(n^2+m^2,n^2-m^2)=1 \ \ or \ \ 2 \end{gather*}$

 

설명

$\begin{gather*}\gcd(m, n)=1 \end{gather*}$

 

• 최대 공약수 : greatest common divisor(gcd)

최대 공약수가 1이라는 것은 m과 n은 서로소(relatively prime) 관계라는 것을 의미한다.

 

$\begin{gather*}\gcd(n^2+m^2,n^2-m^2)=1 \ \ or \ \ 2 \end{gather*}$

 

그렇다면 n^2+m^2, n^2-m^2은 최대공약수가 1이거나 2이다.

 

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증명

사실

$\begin{gather*}d|a, \ \ \ \ d|b \\ \Rightarrow a=da', \ \ \ \ b=db' \\ \Rightarrow a\pm b = d(a' \pm b') \\ \Rightarrow d|(a \pm b) \\ \Rightarrow d|(ax \pm by) \ \ for \ \ any \ \ x,y \in\mathbb{Z} \end{gather*}$

 

d가 a와 b를 나눌 수 있다면, a+b 역시 d로 나눌 수 있다.

(d를 약수로 가지게 되기 때문이다.)

 

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본 증명

• d : a common divisor of m and n

$\begin{gather*}d|n^2+m^2, \ \ \ \ d|n^2-m^2\\ \Rightarrow d|\{(n^2+m^2) \pm (n^2-m^2)\} \\ \Rightarrow d|2n^2, \ \ \ \ d|2m^2 \end{gather*}$

 

d를 n^2 + m^2과 n^2 - m^2의 공약수라고 한다면

사실에 의해 d는 n^2 + m^2 ± n^2 - m^2 역시 나눌 수 있다.

그렇다면 d는 2n^2과 2m^2을 나눌 수 있다.

 

$\begin{gather*}\gcd(m,n)=1 \\ \Rightarrow \gcd(m^2, n^2)=1 \end{gather*}$

 

이것은 자명하다. 일단 m^2과 n^2의 최대공약수는 1이다. (서로소 이다.)

 

$\begin{gather*}d|2n^2, \ \ \ \ d|2m^2 \end{gather*}$

 

n^2과 m^2이 서로소 관계이므로 둘을 동시에 나눌 수 있는 d는 1이거나 2일 수밖에 없다.

d는 n^2 + m^2과 n^2 - m^2의 공약수이므로, d가 1이거나 2라는 것은

n^2 + m^2과 n^2 - m^2을 1 혹은 2로만 나눌 수 있다는 것을 의미한다.

 

$\begin{gather*}\gcd(n^2+m^2,n^2-m^2)=1 \ \ or \ \ 2 \end{gather*}$

 

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Primitive Pythagorean Triples

$\begin{gather*}(p^2-q^2, 2pq, p^2+q^2) \end{gather*}$

 

위의 형태로 원시 피타고라스 세수가 나온다.

• 원시 피타고라스 세수 : 서로소 이면서 자연수인 a, b, c

 

증명

(a, b, c)를 피타고라스 세수라고 했을 때,

 

$\begin{gather*}x=\frac{a}{c}, \ \ y=\frac{b}{c} \\ \Rightarrow (x, y) \end{gather*}$

 

단위원 상의 유리수 점 x, y를 구할 수 있다.

 

$\begin{gather*}\Rightarrow (x, y)=(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}) \ \ for \ \ some \ \ t \in \mathbb{Q} \end{gather*}$

 

Lemma1에 의하여 위는 사실이다. (유리수 점(x, y)으로 유리수 기울기 t 만들기)

 

$\begin{gather*}t=\frac{n}{m} \end{gather*}$

 

이때 t는 기약분수(in the lowest terms)라고 하자. 즉, n과 m은 서로소이다.

 

$\begin{gather*}\Rightarrow (\frac{a}{c}, \frac{b}{c})=(\frac{n^2-m^2}{n^2+m^2},\frac{2mn}{n^2+m^2}) \end{gather*}$

 

매개변수 표현을 이렇게 정리할 수 있다.

 

$\begin{gather*}k=\gcd(a,c) \\ \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}, \ \ \ \ \gcd(a', c')=1 \\ \Rightarrow a=ka', \ \ c=kc' \end{gather*}$

 

k가 a와 c의 최대공약수라고 했을 시 a’과 c’으로 기약분수를 만들고, 서로소라면

a=ka’, c=kc’의 꼴로 표현할 수 있다.

 

$\begin{gather*}\gcd(n^2+m^2, n^2-m^2)=1 \ \ or \ \ 2 \end{gather*}$

 

n과 m이 서로소이기 때문에 Lemma2에 의하여 위는 사실이다.

두가지 경우가 있으므로 케이스를 나눠야한다.

 

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gcd(n^2+m^2, n^2-m^2) = 1인 경우

$\begin{gather*}\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}=\frac{n^2-m^2}{n^2+m^2} \end{gather*}$

 

a’과 c’이 기약분수이기 때문에 분자 따로를 a’으로, 분모 부분을 c’이라고 봐도 상관 없다.

우변도 gcd(n^2+m^2, n^2-m^2) = 1이기 때문에 분자, 분모가 서로소인 것은 자명하다.

 

$\begin{gather*}\Rightarrow a'=n^2-m^2 \\ c' = n^2+m^2 \end{gather*}$

 

따라서 a와 c를 구할 수 있다.

 

$\begin{gather*}a = ka', \ \ c = kc' \\ b^2=c^2-a^2=4k^2n^2m^2 \\ \Rightarrow b = k*2mn \end{gather*}$

 

구한 a와 c를 통해서 b를 구하면 된다.

 

$\begin{gather*}a=k(n^2-m^2) \\ b=k(2mn) \\ c=k(n^2+m^2) \end{gather*}$

 

따라서 피타고라스 세수는 위와 같은 꼴로 표현할 수 있다.

 

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gcd(n^2+m^2, n^2-m^2) = 2인 경우

either both m, n are even, or both m, n are odd.

 

Lemma 2에 의하여 n^2+m^2과 n^2-m^2의 최대공약수가 2가 되려면

n과 m 모두가 짝수이거나, n과 m 모두가 홀수여야만 한다.

n과 m 모두가 짝수이면 서로소가 아니긴 한데, 일단 다음을 유도할 수 있다.

 

$\begin{gather*}\Rightarrow N=\frac{n+m}{2}, \ \ M=\frac{n-m}{2} \ \ \in \mathbb{Z} \end{gather*}$

 

n과 m모두 짝수이거나 홀수라면 n+m과 n-m은 짝수이다.

따라서 2로 나누더라도 여전히 정수이다.

 

$\begin{gather*}\Rightarrow n=N+M \\ m= N-M \\ \Rightarrow n^2 - m^2=4MN \\ n^2+m^2=2(N^2+M^2) \end{gather*}$

$\begin{gather*}\frac{a'}{c'}=\frac{n^2-m^2}{n^2+m^2}=\frac{\frac{n^2-m^2}{2}}{\frac{n^2+m^2}{2}}=\frac{2MN}{N^2+M^2} \end{gather*}$

 

그런데 a’과 c’은 서로소, 즉 기약분수 꼴이므로 아래와 같이 분자, 분모 따로 보더라도 상관 없다.

우변 역시 gcd(n^2+m^2, n^2-m^2) = 2이므로 분자, 분모는 약분되어 기약분수가 되는 것은 자명하다.

 

$\begin{gather*}a'=2MN \\ c'=N^2+M^2 \end{gather*}$

 

b도 마찬가지로 b^2=c^2-a^2을 이용해서 구하면 된다.

 

$\begin{gather*}a=k(n^2-m^2) \\ b=k(2mn) \\ c=k(n^2+m^2) \end{gather*}$

 

따라서 피타고라스 세수는 위와 같은 꼴로 표현할 수 있다.

 

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페르마의 마지막 정리

추측 (conjecture)

$\begin{gather*}x^n+y^n=z^n \ \ \ (n\ge3) \end{gather*}$

 

위를 만족하는 정수해는 없다. ⇒ 증명됨.

 

$\begin{gather*}(\frac{x}{z})^2+(\frac{y}{z})^2=1 \end{gather*}$

 

위의 유리 매개화 식을 찾을 수 있을까?

 

(1, 0)을 지나는 기울기 t 직선과 연립. ⇒ 교점이 총 3개

그러나 t는 1점을 대응 시켜야하지만 (= 일대일 대응)

2점이나 더 있으므로 불가능하다.

 

⇒ 피타고라스 삼원쌍에서 했던 방식이 통하지 않는다.